꼭짓점 도형

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1. 개요
2. 정의
3. 일반적인 속성
4. 구성 방법
- 4.1. 인접 꼭짓점으로부터
- 4.2. 도르만 루크 구성
5. 정다포체의 꼭짓점 도형
6. 벌집의 꼭짓점 도형
7. 모서리 도형
참조

1. 개요

꼭짓점 도형은 다면체의 한 꼭짓점을 기준으로, 그 점과 연결된 모서리들을 따라 인접한 점들을 연결하여 만들어지는 다각형을 의미한다. 이 도형은 다면체의 꼭짓점 주변의 구조를 나타내며, 평면 절단, 구면 다각형, 연결된 꼭짓점의 집합, 추상적 정의 등 다양한 방식으로 정의될 수 있다. n-다포체의 꼭짓점 도형은 (n-1)-다포체이며, 정다포체의 경우 슐레플리 기호를 통해 쉽게 파악할 수 있다. 벌집과 같은 테셀레이션에서도 꼭짓점 도형을 정의하여 구조를 분석하는 데 활용한다.

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꼭짓점 도형
꼭짓점 도형
정육면체의 꼭짓점 도형은 삼각형이다.
정의	어떤 꼭짓점에 인접한 면들을 나타내는 도형
다른 이름	꼭지점 지표
영어	Vertex figure

2. 정의

꼭짓점 도형은 다면체나 다포체의 특정 꼭짓점에 인접한 점, 선, 면 등의 배열과 연결 관계를 나타낸다.

다면체의 한 꼭짓점에서 모서리로 연결된 점들을 표시하고, 연결된 면을 통해 인접한 점들을 연결하는 선을 그리면 꼭짓점 주변에 다각형이 만들어진다. 이 다각형이 꼭짓점 도형이다.

콕서터 등은 상황에 따라 꼭짓점 도형의 정의를 다르게 사용했다.^[4]^[5] 이러한 정의는 무한 타일링이나 다포체의 공간 테셀레이션에도 적용될 수 있다.

2. 1. 평면 절단

다면체의 꼭짓점을 포함하는 평면으로 잘라, 그 단면을 꼭짓점 도형으로 정의한다. 다면체의 귀퉁이를 모든 연결된 점을 통과하도록 자르면 그 단면이 꼭짓점 도형이다.^[4]^[5]

웨닝거(2003)는 콕서터(1948)가 한 것처럼 꼭짓점에서 단위 길이만큼 떨어진 지점에서 잘랐다. 고른 다면체의 경우, 도르만 루크 구성은 각 연결된 모서리의 중점에서 자른다. 다른 사람들은 모서리의 반대쪽 끝에 있는 꼭짓점에서 자르기도 한다.^[1]^[2]

균일하지 않은 다면체일 경우, 꼭짓점 도형이 한 평면에 있지 않을 수 있다. 임의의 볼록 다면체에서 유효한 더 일반적인 접근은 주어진 꼭짓점을 다른 꼭짓점과 구분하는 면으로 자르는 것이나, 이 방법은 임의적이다. 이 방법은 연결된 꼭짓점의 집합과 유사하지만 정확한 기하는 아닌 꼭짓점 도형의 조합적 구조를 결정한다. 이것은 모든 차원의 볼록 다포체로 일반화될 수 있다.

2. 2. 구면 다각형

다면체의 꼭짓점을 선택하고 각 연결된 모서리를 따라 점을 표시한다. 연결된 면을 가로질러 인접한 점들을 연결하는 선을 그린다. 이 선들은 꼭짓점 주변에 완전한 회로, 즉 다각형을 형성하는데, 이것이 꼭짓점 도형이다.

코세터 (1948, 1954)는 논의 중인 영역에 따라 정의를 다양하게 변경했다. 꼭짓점 도형의 정의는 무한 타일링이나 다포체 셀, 고차원 다포체를 갖는 공간 채움 테셀레이션에도 적용된다.

크롬웰(1999)은 꼭짓점을 중심으로 하는 구와 다면체의 교차를 통해 꼭짓점 도형을 구면 다각형으로 정의한다.

2. 3. 연결된 꼭짓점의 집합

많은 조합론적 및 계산적 접근 방식은 꼭짓점 도형을 주어진 꼭짓점에 (모서리로 연결되어) 인접한 모든 꼭짓점의 정렬된(또는 부분적으로 정렬된) 집합으로 취급한다.^[3]

2. 4. 추상적 정의

추상 다포체 이론에서, 주어진 점 ''V''에서의 꼭짓점 도형은 그 꼭짓점과 관련된 원소(모서리, 면 등)로 구성된다. 더 공식적으로는 (''n''-1)-구역의 ''F_n''/''V''이며, 이 때 ''F_n''은 가장 큰 면이다.

이 집합의 원소는 꼭짓점 별이라고도 불린다.

3. 일반적인 속성

''n''-다포체의 꼭짓점 도형은 (''n''−1)-다포체이다. 예를 들어, 다면체의 꼭짓점은 다각형이고, 4차원 다포체의 꼭짓점 도형은 다면체이다.^[1]

꼭짓점 도형은 이웃하는 꼭짓점들의 연결성을 통해 다음과 같이 구성된다.^[1]

''꼭짓점 도형''의 각 꼭짓점은 원래 다포체의 꼭짓점과 일치한다.
''꼭짓점 도형''의 각 모서리는 원래 다포체의 면 위나 내부에 존재하며, 해당 면의 두 꼭짓점을 연결한다.
''꼭짓점 도형''의 각 면은 ''n'' > 3인 경우, 원래 ''n''-다포체의 입체 위나 내부에 존재한다.
고차원 다포체의 경우에도 위와 같은 방식으로 꼭짓점 도형의 고차원 원소가 구성된다.

꼭짓점 도형은 고른 다포체에서 특히 유용한데, 이는 하나의 꼭짓점 도형으로 전체 다포체를 해석할 수 있기 때문이다.^[1]

다면체의 경우, 꼭짓점 도형은 꼭짓점 배치 표기를 사용하여 꼭짓점 주변의 면들을 수열로 나타낼 수 있다. 예를 들어 3.4.4.4는 삼각형 하나와 사각형 세 개가 있는 꼭짓점을 나타내며, 이는 마름모육팔면체를 의미한다.^[1]

다포체가 점추이인 경우, 꼭짓점 도형은 ''n''차원 초평면 위에 존재한다. 그러나 일반적으로 꼭짓점 도형이 평면일 필요는 없다.^[1]

볼록하지 않은 다면체의 경우, 꼭짓점 도형 역시 볼록하지 않을 수 있다. 예를 들어, 고른 다포체는 면이나 꼭짓점 도형으로 별 다각형을 가질 수 있다.^[1]

4. 구성 방법

꼭짓점 도형을 구성하는 방법에는 인접 꼭짓점을 연결하는 방법과 도르만 루크 구성을 이용하는 방법이 있다.

4. 1. 인접 꼭짓점으로부터

원래 다면체의 각 꼭짓점에 대해, 인접한 꼭짓점들을 연결하여 꼭짓점 도형을 구성할 수 있다.

'꼭짓점 도형'의 각 꼭짓점은 원래 다면체의 꼭짓점과 일치한다.
'꼭짓점 도형'의 각 모서리는 원래 다면체의 면 위 또는 내부에 존재하며, 원래 면에서 두 개의 교차하는 꼭짓점을 연결한다.
'꼭짓점 도형'의 각 면은 원래 ''n''-다면체(''n'' > 3)의 셀 위 또는 내부에 존재한다.
... 그리고 고차 다면체의 고차원 요소로 계속된다.

4. 2. 도르만 루크 구성

균일 다면체의 경우, 도르만 루크 구성으로 쌍대 다면체의 면을 꼭짓점 도형에서 얻을 수 있다.

5. 정다포체의 꼭짓점 도형

정다포체는 슐레플리 기호로 나타낼 수 있으며, 이 표기법에서 세포와 꼭짓점 도형을 쉽게 추출할 수 있다.

일반적으로 슐레플리 기호 {''a'',''b'',''c'',...,''y'',''z''}를 갖는 정다포체는 {''a'',''b'',''c'',...,''y''}로 세포를 가지며, 꼭짓점 도형은 {''b'',''c'',...,''y'',''z''}이다.

차원	슐레플리 기호	꼭짓점 도형
정다면체	{p,q}	{q} (q각형)
4차원 정다포체, 3차원 정규 입체 테셀레이션, 3차원 하이퍼볼릭 벌집	{p,q,r}	{q,r}

예시:
* 정육면체 {4,3}의 꼭짓점 도형은 삼각형 {3}이다.
* 초정육면체 {4,3,3}의 꼭짓점 도형은 정사면체 {3,3}이다.^[1]
* 정육면체 벌집 {4,3,4}의 꼭짓점 도형은 정팔면체 {3,4}이다.^[2]

정다포체의 쌍대 다포체 역시 정다포체이며, 슐레플리 기호의 지수를 역순으로 표현하므로, 꼭짓점 도형의 쌍대는 쌍대 다포체의 세포임을 쉽게 알 수 있다. 정다면체의 경우, 이는 도르만 루크 구성의 특수한 경우이다.^[3]

6. 벌집의 꼭짓점 도형

벌집 (테셀레이션)의 경우에도 꼭짓점 도형을 정의할 수 있으며, 이는 벌집의 구조를 이해하는 데 중요한 정보를 제공한다. 예를 들어, 깎은 정육면체 벌집의 꼭짓점 도형은 고르지 않은 사각뿔이다. 깎은 정육면체 벌집에서는 하나의 정팔면체와 네 개의 깎은 정육면체가 각 꼭짓점에서 만나 테셀레이션을 형성한다.

꼭짓점 도형	슈미겔 다이어그램	원근 투영	정팔면체에서 생성	깎은 정육면체에서 생성
고르지 않은 사각뿔			(3.3.3.3)	(3.8.8)

7. 모서리 도형

모서리 도형은 꼭짓점 도형의 꼭짓점 도형으로 정의되며, 다포체 내의 원소들 간의 관계를 나타내는 데 유용하다.^[6] 정다포체 {p,q,r,s,...,z}의 모서리 도형은 {r,s,...,z}이다.

모서리 도형은 주어진 모서리 주변의 면 배열을 나타내는 (n−2)-다포체이다. 단일 고리의 콕서터 다이어그램을 가지는 고른 정다포체는 한 가지의 모서리 종류를 가진다.

4차원에서 4차원 다포체나 삼차원 벌집의 모서리 도형은 모서리 주변의 면들의 배열을 나타내는 다각형이다. 예를 들어, 정육면체 벌집 {4,3,4}의 모서리 도형은 정사각형이다.

깎은 정육면체 벌집 t_0,1{4,3,4}은 두 종류의 모서리 도형을 갖는다. 하나는 정사각형 모서리 도형으로, 모서리 주변에 깎은 정육면체 네 개가 있음을 나타낸다. 다른 하나는 이등변삼각형 모서리 도형으로, 두 깎은 정육면체와 정팔면체 하나가 모서리 주변에 있다는 것을 나타낸다.

''깎은 정육면체 벌집''은 두 종류의 모서리를 가지고 있다; 깎은 정육면체가 네 개 있는 것과, 정팔면체 하나와 깎은 정육면체 두 개가 있는 것이다. 이것들은 두 종류의 ''모서리 도형''으로 볼 수 있다. 이것들은 ''꼭짓점 도형''의 꼭짓점으로 볼 수 있다.

참조

_[1] 서적 Coxeter, H. et al. (1954).
_[2] 서적 Skilling, J. (1975).
_[3] 웹사이트 Klitzing: Vertex figures, etc. http://www.bendwavy.[...]
_[4] 서적 Coxeter, H. et al. (1954).
_[5] 서적 Skilling, J. (1975).
_[6] 웹사이트 Klitzing: Vertex figures, etc. http://www.bendwavy.[...]

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